بیش‌تر شب‌ها مسیر برگشت به خونه رو پیاده برمی‌گردم. یک شب متوجه شدم که چند چراغ عابر پیاده که در مسیرم هستن، درست جلوی پای من سبز می‌شن. در واقع چراغ‌های راهنمایی برای ماشین‌هایی که موازی من حرکت می‌کردن سبز می‌شدن و در نتیجه چراغ‌های عابر برای من هم سبز می‌شدن (وگرنه ما که اهل تفسیر معجزه برای خود نیستیم).

فرض کنیم که چراغ‌های راهنمایی رو طوری تنظیم کرده‌ان که وقتی چراغ برای یک ماشین سبز باشه، در تمام اون خیابون چراغ‌های بعدی هم برای اون ماشین سبز باشن. همین‌طور فرض کنیم که همه‌ی ماشین‌ها با یک سرعت حرکت می‌کنن. با این دو فرض، سرعت پیاده‌روی من چه ارتباطی با سرعت ماشین‌ها داره؟ برای جواب کمی فکر کنین و بعد اسکرول کنین.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

سرعت پیاده‌روی من کسر گویا (rational) ای از سرعت ماشین‌هاست.

مثال: دو نفر در یک مسیر بسته‌ی دو و میدانی با سرعت‌های a و b می‌دون، مثلن در یک دایره، هرچند که شکل مسیر مهم نیست. اگر سرعت‌های a و b برابر باشن، این دو نفر همیشه کنار هم هستن و یا این که یک فاصله‌ی مشخص رو همیشه با هم حفظ می‌کنن. اما اگه این دو سرعت متفاوت باشن، یک نفر که سرعت بیش‌تری داره، از اون یکی جلو می‌زنه. اما بعد از یک مدت، دوباره از پشت به اون کسی که سرعت کم‌تری داره می‌رسه.

سوال: در چه جاهایی از مسیر این دو نفر با هم ملاقات می‌کنن؟

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

شبیه به مثال چراغ عابر پیاده، اگر a مضرب گویا (rational) ای از b باشه، این دو نفر همدیگه رو در محل‌های مشخص و ثابت و تکراری‌ای ملاقات می‌کنن که اون رو هم نسبت a و b مشخص می‌کنه. مثلن اگر a سه برابر b باشه و با هم حرکت کنن، همیشه فقط و فقط همدیگه رو در ابتدای مسیر و نیمه‌ی مسیر ملاقات می‌کنن.

سوال: در چه حالتی این دو نفر همیشه همدیگه رو در محل‌های جدید ملاقات می‌کنن؟ به عبارت دیگه هیچ وقت در محل‌های تکراری به هم نمی‌رسن و هرجا که همدیگه رو می‌بینن یک جای جدیده؟

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

جواب: اگر a مضرب گنگ (irrational) ای از b باشه (یا برعکس، b مضرب گنگی از a باشه؛ فرقی نمی‌کنه). برای مثال اگر سرعت یکی شون π (یعنی پی، همون عدد تقریبن برابر با سه و چهارده صدم) برابر اون یکی باشه یا مثلن ریشه‌ی دوم دو و یا هر عدد گنگ دیگه‌ای باشه، همیشه همدیگه رو در محل‌هایی ملاقات می‌کنن که قبلن ملاقات نکرده‌ان.

سوال آخر: اگر دو نفر سرعت‌هاشون تصادفی انتخاب شده باشه، به چه احتمالی سرعت‌هاشون مضرب‌های گنگی از همدیگه است؟ (به عبارت دیگه چه مقدار احتمال داره که دو نفر که با سرعت‌های تصادفی در یک مسیر می‌دون، همیشه همدیگه رو در جاهای غیرتکراری از مسیر ملاقات بکنن و حتا یک بار هم همدیگه رو در جای تکراری نبینن؟)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

جواب: اگر اشتباه نکنم، صد در صد! تا جایی که من متوجه شده‌ام، اگر یک عدد تصادفی انتخاب کنیم، به احتمال صد در صد عدد گنگیه. فکر می‌کنم اگر دو عدد تصادفی هم انتخاب کنیم، به احتمال صد در صد نسبت به هم گنگ باشن (اما باز هم مطمئن نیستم). لطفن کمک کنین.

فردا یک وبینار رایگان برگزار می‌شه با عنوان «بحران بی‌کاری، مصرف، رشد اقتصادی و محیط زیست: آیا هفته‌ی کاری کوتاه‌تر و اقتصاد سبزتر کمکی می‌کنند؟». اگر مایل هستین، در این‌جا در موردش بیش‌تر بخونین و ثبت نام کنین. زمانش روز دوشنبه یازدهم ماه مارچ، ساعت دوازده ظهر به وقت شرق آمریکاست.

متن پایین نقل به مضمون از کتاب The Tipping Point هست که این روزها می‌خونم.

فرض کنین یک گروه پنج نفره داریم. زمانی می‌تونیم ادعا کنیم که افراد این گروه به خوبی همدیگه رو می‌شناسن که نه تنها همه‌ی پنج نفر همدیگه رو بشناسن، بل‌که هرکس کمابیش بدونه که هر دو نفر دیگه چه رابطه‌ای با هم دارن. با این ترتیب برای این گروه پنج نفره، تعداد ده رابطه‌ی مختلف وجود داره که هرکس کمابیش از هر ده تا باخبره. ولی وقتی تعداد اعضای گروه دو برابر می‌شه، یعنی ده نفر در گروه هستن، تعداد روابط دو برابر نمی‌شه. مساله خطی نیست. برای گروه ده نفره، تعداد چهل و پنج رابطه وجود داره (یعنی چهار و نیم برابر تعداد روابط در گروه با نصف این جمعیت). به همین ترتیب در یک گروه بیست نفره تعداد روابط موجود صد و نود تاست.

مغز موجودات محدودیت داره و تنها شمار محدودی از تعداد روابط رو می‌تونه دنبال کنه. در واقع رابطه‌ای وجود داره بین اندازه‌ی مغز موجودات و اندازه‌ی گروه‌های اجتماعی‌شون. در بین نخستی‌سانان (primates)، ما انسان‌ها بزرگ‌ترین گروه‌های اجتماعی رو داریم چرا که ما تنها گونه‌ای هستیم که مغزمون به اندازه‌ی کافی بزرگ هست که بتونه از پس پیچیدگی‌های روابط اجتماعی در گروه‌های به این بزرگی بر بیاد.

از قرار معلوم نتیجه‌ی تحقیقات مختلف این بوده که برای ما انسان‌ها بزرگ‌ترین اندازه برای گروه‌ها که بتونیم به ترتیبی که در بالا گفته شد روابط رو دنبال بکنیم، صد و پنجاه نفره. یعنی اگر اندازه‌ی گروه از صد و پنجاه نفر بیش‌تر بشه، در دنبال کردن روابط مشکل پیدا می‌کنیم، به نوعی گیج می‌شیم، روابط‌مون ضعیف‌تر می‌شن و امکان دو پاره شدن گروه وجود داره. برای همین پیشنهاد می‌کنن اندازه‌ی گروه‌هاتون از صد و پنجاه نفر بیش‌تر نشه، چه گروه‌های اجتماعی‌تون و چه شرکت‌هاتون. برای نمونه، شرکت موفق گور محدودیتی داره که هر موقع اندازه‌ی یکی از بخش‌هاش از صد و پنجاه نفر بیش‌تر شد، به دو قسمت کوچک‌تر تقسیم بشه. با این ترتیب کارمندهای یک بخش همدیگه رو می‌شناسن، روابط به اندازه‌ی کافی عمیقی با هم برقرار می‌کنن و همین ارتباط بین کارمندها منجر به کارآمدی بیش‌تر مجموعه می‌شه.

چه طور می‌توانیم بحران‌های مالی را مدیریت کنیم؟ چه طور ناآرامی‌های داخلی، مذهب و شایعه گسترش می‌یابند؟ آیا ممکن است این گسترش، شباهتی به واگیر بیماری‌ها و زمین‌لرزه داشته باشد؟ آیا می‌توانیم رفتار انسان‌ها و جوامع را به همان روشی مطالعه کنیم که رفتار سیستم‌های زیستی و سیستم‌های ساخته‌ی دست انسان را مطالعه می‌کنیم؟ آیا دانش سیستم‌های پیچیده برای این سوالات پاسخی دارد؟

برای اطلاعات بیش‌تر (و شاید پرسش و پاسخ) در این وبینار رایگان ام‌آی‌تی که در تاریخ یازدهم فوریه برگزار خواهد شد شرکت کنید: از سیاست و سرمایه‌گذاری تا شبکه‌ی برق‌رسانی و تولید محصولات.