چراغ راهنمایی و کمی هم صحبت از اعداد

بیش‌تر شب‌ها مسیر برگشت به خونه رو پیاده برمی‌گردم. یک شب متوجه شدم که چند چراغ عابر پیاده که در مسیرم هستن، درست جلوی پای من سبز می‌شن. در واقع چراغ‌های راهنمایی برای ماشین‌هایی که موازی من حرکت می‌کردن سبز می‌شدن و در نتیجه چراغ‌های عابر برای من هم سبز می‌شدن (وگرنه ما که اهل تفسیر معجزه برای خود نیستیم).

فرض کنیم که چراغ‌های راهنمایی رو طوری تنظیم کرده‌ان که وقتی چراغ برای یک ماشین سبز باشه، در تمام اون خیابون چراغ‌های بعدی هم برای اون ماشین سبز باشن. همین‌طور فرض کنیم که همه‌ی ماشین‌ها با یک سرعت حرکت می‌کنن. با این دو فرض، سرعت پیاده‌روی من چه ارتباطی با سرعت ماشین‌ها داره؟ برای جواب کمی فکر کنین و بعد اسکرول کنین.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

سرعت پیاده‌روی من کسر گویا (rational) ای از سرعت ماشین‌هاست.

مثال: دو نفر در یک مسیر بسته‌ی دو و میدانی با سرعت‌های a و b می‌دون، مثلن در یک دایره، هرچند که شکل مسیر مهم نیست. اگر سرعت‌های a و b برابر باشن، این دو نفر همیشه کنار هم هستن و یا این که یک فاصله‌ی مشخص رو همیشه با هم حفظ می‌کنن. اما اگه این دو سرعت متفاوت باشن، یک نفر که سرعت بیش‌تری داره، از اون یکی جلو می‌زنه. اما بعد از یک مدت، دوباره از پشت به اون کسی که سرعت کم‌تری داره می‌رسه.

سوال: در چه جاهایی از مسیر این دو نفر با هم ملاقات می‌کنن؟

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

شبیه به مثال چراغ عابر پیاده، اگر a مضرب گویا (rational) ای از b باشه، این دو نفر همدیگه رو در محل‌های مشخص و ثابت و تکراری‌ای ملاقات می‌کنن که اون رو هم نسبت a و b مشخص می‌کنه. مثلن اگر a سه برابر b باشه و با هم حرکت کنن، همیشه فقط و فقط همدیگه رو در ابتدای مسیر و نیمه‌ی مسیر ملاقات می‌کنن.

سوال: در چه حالتی این دو نفر همیشه همدیگه رو در محل‌های جدید ملاقات می‌کنن؟ به عبارت دیگه هیچ وقت در محل‌های تکراری به هم نمی‌رسن و هرجا که همدیگه رو می‌بینن یک جای جدیده؟

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

جواب: اگر a مضرب گنگ (irrational) ای از b باشه (یا برعکس، b مضرب گنگی از a باشه؛ فرقی نمی‌کنه). برای مثال اگر سرعت یکی شون π (یعنی پی، همون عدد تقریبن برابر با سه و چهارده صدم) برابر اون یکی باشه یا مثلن ریشه‌ی دوم دو و یا هر عدد گنگ دیگه‌ای باشه، همیشه همدیگه رو در محل‌هایی ملاقات می‌کنن که قبلن ملاقات نکرده‌ان.

سوال آخر: اگر دو نفر سرعت‌هاشون تصادفی انتخاب شده باشه، به چه احتمالی سرعت‌هاشون مضرب‌های گنگی از همدیگه است؟ (به عبارت دیگه چه مقدار احتمال داره که دو نفر که با سرعت‌های تصادفی در یک مسیر می‌دون، همیشه همدیگه رو در جاهای غیرتکراری از مسیر ملاقات بکنن و حتا یک بار هم همدیگه رو در جای تکراری نبینن؟)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

جواب: اگر اشتباه نکنم، صد در صد! تا جایی که من متوجه شده‌ام، اگر یک عدد تصادفی انتخاب کنیم، به احتمال صد در صد عدد گنگیه. فکر می‌کنم اگر دو عدد تصادفی هم انتخاب کنیم، به احتمال صد در صد نسبت به هم گنگ باشن (اما باز هم مطمئن نیستم). لطفن کمک کنین.

10 thoughts on “چراغ راهنمایی و کمی هم صحبت از اعداد”

  1. راه حل را هم مي نوشتيد كه چطور به صددرصد رسيديد خيلي خوب مي شد. به نظر من چون ما بي نهايت عدد گويا و بي نهايت عدد گنگ داريم حالا بخواهيم از بين مجموعه اعدادحقيقي يك عدد به تصادف بيرون بياريم احتمال اينكه گنگ باشد صددرصد نيست

  2. فكر كنم كامنتم قبليم ثبت نشد

    راه حل را هم مي نوشتيد كه چطور به صددرصد رسيديد خيلي خوب مي شد. به نظر من چون ما بي نهايت عدد گويا و بي نهايت عدد گنگ داريم حالا بخواهيم از بين مجموعه اعدادحقيقي يك عدد به تصادف بيرون بياريم احتمال اينكه گنگ باشد صددرصد نيست

  3. در دنیای محسوسات مگر عدد گنگ داریم؟ تا جایی که می‌دانم در سطح محسوسات ما همه چیز تقریب می‌شود به عددهایی که صحیح یا اعشاری (با چند رقم معدود) هستند.

    (لطفا کامنت قبلی را پاک کنید. نشانی وب‌گاهم را اشتباه وارد کرده بودم).

  4. به حامد: شرمنده که نمی دونم به چه دلیل کامنت شما رو اسپم حساب کرده بود. خجالت به وردپرس!
    در مورد اعداد گنگ و اعداد گویا، من امروز از دو نفر پرسیدم و به این نتیجه رسیدم که احتمال گنگ بودن عدد همون صددرصده. درسته که تعداد بی نهایت عدد گنگ و بی نهایت عدد گویا داریم، اما در عین حال تعداد عددهای گنگ بی‌نهایت برابر تعداد عددهای گویاست. بنا بر این هر عددی رو در هر بازه که انتخاب بکنین، به احتمال یک، یعنی صد در صد، اون عدد گنگه. به اصطلاح گفته می‌شه که measure اعداد گویا صفره.

    به بامدادی: در سطح محسوسات و در عمل بله، همه‌ی اعداد شاید برای ما گویا باشن. اون چه که نوشتم به تئوری نزدیک‌تر بود.

  5. ممنون از پاسخت. جالبه من فكر مي كنم اعداد گويا بيشتر از اعداد گنگ هستند

  6. سلام.
    میشه لطفاً توضیح بدی که چرا و چجوری میشه گفت که تعداد عددهای گنگ بی نهایت برابر تعداد عددهای گویاست؟
    راستش همینجوری یه حساب سرانگشتی و اینکه من از یکی از استادام که احتمال تدریس میکنه سوال کردم گفت همینجوری بدون فکر شاید بشه گفت که احتمال 50% بهتر از صد در صده. چون باید دو مجموعه ی بی نهایت رو باهم دیگه مقایسه کنیم (مجموعه اعداد گنگ و گویا). لطفاً مرجعتو بگو که چرا اعداد گنگ بی نهایت برابر اعداد گویا اند.

  7. برای درک این موضوع باید تئوری آنالیز حقیقی رو مطالعه کنید.مجموعه های نامتناهی به دو دسته شمارا و ناشمارا تقسیم میشوند.برای مقایسه بین ابعاد مجموعه های نامتناهی موجودی به نام measure تعریف میشه.سپس اثبات میشه که اندازه مجموعه شمارا صفره.
    از طرفی مجموعه اعداد گویا شماراست ولی مجموعه اعداد حقیقی ناشماراست.
    به عبارت ساده تر،در مجموعه اعداد حقیقی بین هر دو عدد گویا بیشمار عدد گنگ هست ولی برعکسش صادق نیست

  8. سلام چرامجموعه اعداد گنگ شمارا نیست ولی مجموعه اعداد گویا شماراست

Leave a Reply

Your email address will not be published.