چرا اندازه‌ی هر عدد محدود از هر عدد تصادفی‌ای کوچک‌تره؟

در پست پیش از یک تاس ده رقمی نوشتم که احتمال اومدن هر کدوم از رقم‌های ۰ تا ۹ اش برابره. برای این که یک عدد کاملن تصادفی تولید کنیم (یعنی عدد در بازه‌ی صفر تا مثبت بی‌نهایت باشه)، روش زیر رو پیشنهاد می‌کنم: برای رقم یکان، تاس رو بندازین و هر عددی اومد، اون رو به عنوان رقم یکان بگذارین. برای رقم دهگان هم تاس بندازین و رقم دهگان عدد رو بسازین و به همین ترتیب به سراغ رقم صدگان و بعد هزارگان و… به همین ترتیب برین و این کار رو بی‌نهایت بار انجام بدین. با این ترتیب یک عدد صحیح کاملن تصادفی در بازه‌ی صفر تا مثبت بی‌نهایت دارین.

سوال: احتمال این که عدد تصادفی تولید شده از یک عدد دل‌خواه شما (برای مثال ۱۷۸۰۲۵۰۰۳۶۴۹۰۴۲۳۳۱۸۹۵۶۶۱۹۲۰۳) کوچک‌تر باشه چه قدره؟

– صفر! به عبارت دیگه، امکان نداره شما عددی انتخاب کنین و عدد تصادفی تولید شده از اون عدد انتخابی شما کوچیک‌تر باشه! (جالب نیست؟)

برای نمونه فرض کنین عدد مورد نظر شما صد رقمیه. در این صورت در تولید عدد تصادفی، تقریبن صد رقم اول رو در نظر نمی‌گیریم (نه این که مهم نباشن، اما می‌تونیم برای سادگی محاسبه، از صد رقم اول چشم‌پوشی کنیم). اما باید دقت کنیم که در عدد تصادفی، رقم صد و یکم (از سمت راست) باید صفر باشه (اگر صفر نباشه، پس عدد تصادفی‌ای که تولید می‌شه، از عدد انتخابی ما بزرگ‌تره). احتمال صفر بودن رقم صد و یکم ده درصده. رقم صد و دوم هم باید صفر باشه و به همین ترتیب رقم صد و سوم و تا بی‌نهایت همه باید صفر باشن و احتمال صفر بودن همه‌ی این‌ها می‌شه یک دهم به توان بی‌نهایت، یعنی صفر. به عبارت دیگه، اگر یک عدد دل‌خواه محدود (finite) انتخاب کنین، عدد تصادفی تولید شده از اون عدد بزرگ‌تره.

برای این که بازه‌ی عددهای حقیقی رو پوشش بدیم (و محدود به عددهای صحیح نباشیم)، کافیه یک عدد تصادفی بین صفر و یک تولید کنیم و به عدد تولید شده اضافه کنیم. روش تولیدش رو در پست قبل نوشتم که به همین روش گفته شده شبیهه.

در تولید عدد تصادفی، عددهای منفی رو در نظر نگرفتیم. شاید بشه یک بار اضافه تاس انداخت؛ اگر عددش زوج بود که هیچی، اگر فرد بود، عدد تصادفی تولید شده رو منفی کنیم. با این ترتیب عددهای تصادفی ما بازه‌ی منفی بی‌نهایت تا مثبت بی‌نهایت رو به طور یک‌نواخت پوشش می‌دن.

نمی‌دونم چه قدر دقیق خواهد بود که بگیم عددهای تصادفی یا مثبت بی‌نهایت هستن یا منفی بی‌نهایت و به هر حال هیچ کدوم محدود نیستن (احتمالن به تعریف «بی‌نهایت» بستگی داره).

پس‌پس‌نوشت: این‌ها رو هم از خودم گفته‌ام و جایی نخونده‌ام؛ احتمال داره اشتباه کرده باشم یا گفته‌هام دقیق نباشن. اگر نظری دارین، لطفن در میون بگذارین.

Leave a Reply

Your email address will not be published.