یک معمای ساده: مهره‌های دومینو در صفحه‌ی شطرنج

به تعداد دل‌خواه مهره‌های دومینو داریم که مستطیل‌هایی‌اند که از دو مربع تشکیل شده‌اند (شبیه به شکل بالا). یک صفحه‌ی شطرنج داریم؛ یعنی شصت و چهار مربع که به صورت هشت در هشت قرار گرفته‌اند (شبیه به شکل پایین). با فرض این که هر مهره‌ی دومینو دو خونه از صفحه‌ی شطرنج رو پر می‌کنه، چه طور می‌تونیم صفحه رو با مهره‌های دومینو بپوشونیم؟

یک جواب ساده اینه که در هر ستون چهار مهره به صورت عمودی می‌گذاریم و به همین ترتیب با هشت ستون به این شکل، تمام سطرها رو پر می‌کنیم (به شکل‌های دیگه هم ممکنه). با این ترتیب با سی و دو مهره‌ی دومینو، صفحه‌ی شطرنج پر می‌شه.

حالا فرض کنین دو خونه‌ی گوشه‌ی مقابل هم رو از صفحه‌ی شطرنج حذف کنیم – برای مثال مربع پایین سمت چپ و مربع بالا سمت راست. حالا چه طور می‌تونین مهره‌های دومینو رو روی این صفحه‌ی جدید بچینین، چنان که تمام صفحه پوشونده بشه و مهره‌ها هم از صفحه بیرون نزنن؟ (با توجه به این که دو مربع از صفحه‌ی جدید حذف شده‌اند، باید از سی و یک مهره‌ی دومینو استفاده کنین تا این صفحه رو بپوشونین) پیشنهاد می‌کنم قبل از خوندن جواب، کمی در مورد مساله فکر کنین.

این مساله جواب نداره. اما چه طور می‌تونیم ثابت کنیم؟

فرض کنین هر مهره‌ی دومینو از یک مربع سیاه و یک مربع سفید تشکیل شده باشه (این فرض لطمه‌ای به مساله نمی‌زنه). وقتی در صفحه‌ی شطرنج بالا دو خونه رو حذف کردیم، تعداد خونه‌های سیاه به سی تا رسید در حالی که تعداد خونه‌های سفید هم‌چنان سی و دو تا باقی موند (البته رنگ خونه‌ها هم در درستی استدلال تاثیری نداره). شما به هیچ شکل نمی‌تونین با سی و یک مهره‌ی دومینو (که خود به خود شامل سی و یک مربع سیاه و سی و یک مربع سفیداند) صفحه‌ی شطرنجی رو بپوشونین که سی و دو خونه‌ی سفید داره و سی خونه‌ی سیاه. پس هیچ راهی نداره که این صفحه‌ی جدید رو با مهره‌های دومینو بپوشونین!

این متن برگرفته از صحبت‌های «ایان استوارت» بود؛ گفت که این یک اثبات قشنگ بود که تحسین شنونده رو به همراه می‌یاره. شاید یک نفر می‌رفت و یک برنامه‌ی کامپیوتری می‌نوشت و تمام حالت‌های ممکن رو امتحان می‌کرد و نتیجه می‌گرفت که نمی‌شه صفحه‌ی جدید شطرنج رو با مهره‌های دومینو پوشوند. اون هم یک اثباته، اما اون جور اثباتی قشنگ نیست.

به نظر «استیون استروگاتز»، اگر شما با شنیدن این استدلال لبخند به لب‌تون اومد یا حس خوش‌حالی یا شگفتی بهتون دست داد، شما یک لحظه‌ی ریاضیاتی (mathematical moment) رو تجربه کرده‌این.

Leave a Reply

Your email address will not be published.