سوال: در یک جعبه سیصد توپ قرمز و هفتصد توپ آبی داریم. هر بار یک توپ تصادفی بیرون می‌کشیم و از جعبه خارج می‌کنیم (و به جعبه بر نمی‌گردونیم)؛ بعد باز هم از توپ‌های باقی‌مونده یکی دیگه بیرون می‌کشیم و به همین ترتیب. احتمال این که هفتصد و یکمین توپی که بیرون می‌کشیم قرمز رنگ باشه چه قدره؟
.
.
.
.
.
.
.
.
جواب: سی درصد! (یعنی تعداد توپ‌های قرمز تقسیم بر تعداد کل توپها)
شاید برای شما بدیهی بوده باشه، اما برای من مدتی طول کشید تا مساله رو درک کنم (دقت کنین که توپها رو بعد از بیرون کشیدن، به جعبه بر نمی‌گردونیم؛ در نتیجه در مرحله‌ی اول از بین هزار توپ، در مرحله‌ی دوم از بین نهصد و نود و نه توپ و به همین ترتیب تا آخر هر بار یک توپ بیرون می‌کشیم). در واقع مهم هم نیست که در مورد توپ چندم صحبت می‌کنیم، به هر حال این احتمال سی درصده (چه این که سوال احتمال قرمز بودن توپ اول باشه، یا احتمال قرمز بودن توپ آخر). موضوع این‌جاست که در این مساله تا وقتی که اطلاعی در مورد توپ‌های از قبل بیرون اومده نداشته باشیم، این احتمال همون سی درصده.
سلام.
به نظر من یه راه ساده اش اینه که برای اون 700 توپی که در آوردیم احتمال رو حساب کنیم که میشه 490 توپ آبی و 210 توپ قرمز.حالا برای اون 300 توپ باقیمانده توی جعبه احتمال وجود توپ قرمز 300-210=90 خواهد بود وشانس درآوردن توپ قرمز برای توپ 701 ام 90 به 300 یا همون سی درصد خواهد بود.
اگر صورت مساله رو این طور مدل کنیم ساده تر می شه فهمید چرا پاسخ همون سه دهم می شه. به این شکل که درآوردن توپها بدون جایگزینی و مشاهده توپ شماره ۷۰۱ (یا هر شماره دیگری) بدون دیدن توپهایی که درآورده ایم٬ مانند این هست که بخواهیم ۱۰۰۰ توپ را در یک خط راست به صورت تصادفی بچینیم و ۷۰۱ تای نخست رو از بقیه جدا کنیم. اگر همه توپها متفاوت باشند٬ !۱۰۰۰ (هزار فاکتوریل) راه برای این کار هست. با ۳۰۰ توپ قرمز و ۷۰۰ توپ آبی٬ تعداد حالتهای ممکن می شه !۱۰۰۰ تقسیم بر حاصل ضرب !۳۰۰ با !۷۰۰. در هر حال بدون دانستن این که کدوم یک از این حالتها در یک آزمایش ویژه اتفاق افتاده (مشاهده شده)٬ احتمال این که توپ شماره ۷۰۱ ام (یا هر شماره دیگری) در صف هزارتایی ما قرمز باشه٬ باز همون ۳ دهم هست.
مساله‌ی جالبی بود.
نمی‌دونم این چیزی که می‌خوام تا چه حد دقیق باشه. اما مطرح می‌کنم شما هم نظرتون رو بگین. در واقع من مثل م.ن.ر فکر می‌کنم. اتفاق چیده شدن توپها رخ داده و حالا هر کدام از این توپها رو که بخواهیم برداریم احتمال این‌که قرمز باشه سه دهم هست. این‌که این اولین توپ نامیده میشه یا سیصدمین توپ و یا توپی به نام منوچهر چیزی رو عوض نمی‌کنه.
به بامداد: من هم موافقم، با این که اول با همین موضوع مشکل داشتم که چرا چندمین توپ بودن اهمیتی نداره. اول که مساله‌هایی مثل این رو حل می‌کردم، بدون دونستن این موضوع، مرحله به مرحله جلو می‌رفتم تا این که احتمال این که توپ n ام رنگ به خصوصی باشه رو پیدا کنم.
مثلن اگر پنج توپ داشتیم که یکی‌شون قرمز بود و چهارتاشون آبی و می‌خواستیم احتمال قرمز بودن توپ آخر رو پیدا کنیم، حاصل با محاسبات من می‌شد «چهار پنجم» ضرب در «سه چهارم» ضرب در «دو سوم» ضرب در «یک دوم» ضرب در «یک». صورت‌ها و مخرج‌ها با هم ساده می‌شدن و باز هم می‌رسیدم به همون عدد یک چهارم (و برای چند مساله‌ی اول هم تعجب کردم و به ذهنم نرسید که قضیه اتفاقی نیست!).
فکر می‌کنم مشکل اصلی از این‌جا بود که فرضم بر این بود که برداشتن هر توپ روی احتمال‌های بعدی تاثیر می‌گذاره. این که فرض کنیم از اول توپها چیده‌شده‌اند، درکش رو ساده‌تر کرد.
بردن مساله به یک فضای جدید خیلی جالبه…